Movimiento Armónico Simple

Movimiento Armónico Simple MAS

El movimiento armónico simple MAS, se produce o se genera cuando un cuerpo oscila o vibra de su posición de equilibrio hasta un punto máximo, denominado amplitud. El MAS queda oscilando o vibrando de forma "infinita" o continua  sino no existe rozamiento.

Para comprender mejor el MAS, debemos conocer ciertos términos que permitirán entender mejor los problemas que se plantean más adelante:

Oscilación: Es el movimiento efectuado por la partícula hasta regresar hasta su posición inicial recorriendo todos los puntos de la trayectoria.

Periodo:  Es el tiempo que tarda la partícula en realizar una oscilación o vibración.

Frecuencia: Es el número de oscilaciones o vibraciones que realiza la partícula en la unidad de tiempo.

Punto de Equilibrio: Es el punto de la trayectoria en el cual la fuerza recuperadora es nula.

Punto de retorno: Son los puntos extremos de la trayectoria en los cuales el movimiento cambia de sentido.

Elongación: Es el desplazamiento de la partícula en un instante respecto al punto de equilibrio. 

Amplitud: Es la máxima elongación que puede tener la partícula, es decir la distancia que existe entre el punto de equilibrio y uno de los puntos de retorno.

En la imagen podemos apreciar varios de los conceptos, el punto denominado x=0, es el punto de equilibrio sobre el cual se realiza la oscilación, la elongación máxima que sufre el resorte es hasta el punto Xmàx, entonces de x=0 hasta Xmàx, se denomina amplitud, el tiempo que tarda la masa en moverse desde el punto de equilibrio hasta nuevamente llegar a este punto pero pasando por Xmàx y Xmin, se denomina periodo. 

Hay que diferenciar lo que es una oscilación de un vibración, en la oscilación el movimiento es mas lento a diferencia de la vibración, ejemplo de un movimiento vibratorio, el diapasón, o mover una varilla  que está sujeta en el piso.

Se puede concebir el movimiento armónico simple como una proyección del movimiento circular uniforme, donde si el cuerpo no inicia su movimiento en la posición de equilibrio, tendrá un desfase en el instante inicial. Si proyectamos el movimiento circular uniforme sobre el eje x o sobre el eje y, se observa una oscilación continua, esta oscilación es un MAS. 

Si nos concentramos en el movimiento circular podemos comprender cual es el comportamiento de su posición, velocidad y aceleración de la partícula que presenta el MAS.

Primero analicemos que sucede con el movimiento, su posición:

Notemos que la partícula se movió de la posición inicial hasta un punto final, recorriendo una distancia, con un ángulo, por tanto en la gráfica notamos que en el punto donde se detiene, podemos conocer su movimiento en los dos ejes, construyendo el triángulo rectángulo y sacando las componentes rectangulares se tiene que:

El punto puede seguir moviéndose, como estamos hablando de un movimiento circular uniforme, el movimiento de la partícula puede hacerlo con una velocidad angular, por tanto tenemos que por definición de velocidad angular es el ángulo barrido por la partícula en un tiempo t, si da la vuelta completa entonces el ángulo barrido será de 360º en un periodo de tiempo, pero como la partícula solo barrio un ángulo en un tiempo t, se tiene:

Reemplazando este ángulo en la ecuación:

Pero cuando llega a su máximo valor, es decir a su máxima elongación el valor de R es A que es la amplitud, tal como lo indica la animación.

Por tanto tenemos la primera ecuación, que es la ecuación de elongación, que nos permite conocer la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo:

El mismo procedimiento anterior podemos realizar para conocer la posición en el eje de las y, si se proyectara el movimiento en dicho eje. (Te queda de tarea realizar la demostración).

Veamos ahora qué sucede con la velocidad, analicemos la partícula en la misma posición que quedó:

En ese punto la partícula, posee una velocidad lineal o tangencial, como es sabido del MCU, realizando la construcción de las componentes de la velocidad en ese punto, se tiene que la velocidad de la partícula tiene dos componentes, una velocidad en el eje de las x y otra en el eje de las y, analicemos que sucede con la velocidad en el eje de las X:

Pero la velocidad, necesitamos expresarla en términos de la velocidad angular, por tanto la velocidad lineal o tangencial del MCU, tenemos que:

Reemplazando en la ecuación anterior se tiene que:

Pero del gráfico se puede observar que la velocidad en el eje X, apunta en dirección de las x negativas, por ser un vector, entonces la velocidad es negativa, quedando:

El radio R, en nuestro caso es la amplitud máxima:

La aceleración en este movimiento, está representada por la aceleración centrípeta o aceleración normal, el siguiente gráfico ilustra la dirección de la aceleración:

Por tanto, en el eje de las x que donde hemos estado trabajando, podemos encontrar el valor de la aceleración en este eje:

Por MCU, tenemos que la aceleración centrípeta o normal, en términos de la velocidad angular se tiene la expresión:

Donde el radio R, en nuestro caso es la máxima elongación es decir la amplitud: R = A

Reemplazando en la ecuación de aceleración en eje x:

En el gráfico podemos observar que la componente de la aceleración centrípeta apunta en el eje de las x negativas, por ser un vector, entonces el signo de esta aceleración es negativa:

Por tanto tenemos las ecuación del MAS, para la proyección del MCU en el eje X así:

Si graficamos estas 3 variables, en el mismo plano tenemos:

La de color azul es la elongación: X

Color Rojo es la velocidad: V

Color verde la aceleración: a

Miremos la grafica en un instante:

Observa el comportamiento de las tres variables en el siguiente programa construido en geogebra (clic en la imagen para abrir el simulador):

Cálculo del periodo de oscilación

Consideremos la siguiente situación:

Al aplicar una fuerza en la dirección de las x positivas, para llevar el bloque de masa m hasta el punto x =A, fue necesario aplicar una fuerza, y por la segunda ley de Newton se tiene que F = ma, y como esta fuerza es proporcional a la fuerza recuperadora que realiza el resorte, (Ley de Hooke), tenemos que ambas fuerzas son iguales, por tanto:

Si tomamos como referente la aceleración máxima que sufre el bloque que es en uno de los extremos, tenemos que:

La deformación que sufre el resorte en uno de los extremos, es la amplitud máxima, por tanto x = A:

La velocidad angular en términos del periodo, que es lo que buscamos está dada por la expresión:

Remplazamos y despejamos el periodo:

El periodo como no puede ser negativo, nos quedamos con la solución positiva y resolvemos:

Energía en el MAS

Consideremos la siguiente situación:

De la posición X=0, donde se localiza inicialmente el resorte, fue necesario aplicar una fuerza F, en la dirección de las x positivas para poder desplazar la masa m un distancia x, este hecho implicó realizar un trabajo, ahora bien, si en la posición x que fue hasta donde desplace la masa, la sostengo y no dejo que la fuerza recuperadora del resorte haga su trabajo, justo en ese momento antes de soltarla, el resorte a adquirido una energía potencial elástica:

Por tanto el trabajo realizado hasta el punto x, es igual a la energia potencial elastica:

La energía mecánica en el caso del sistema masa - resorte se conserva, siempre y cuando no se tenga en cuenta la presencia de la fricción. Por tanto podemos decir que la energía mecánica es constante:

Dicha energía mecánica esta limitada hasta los puntos de retorno, es decir en los extremos la velocidad de la masa es nula, solo posee energía potencial elástica, justo cuando pasa la masa por la posición de equilibrio la velocidad de la masa es máxima, por tanto su energía cinética es máxima.

La energía potencial elástica como es máxima en los extremos tenemos que al graficar dicha energía, nos da como resultado una parábola:

La energía cinética de acuerdo a su fórmula original tenemos que:

Al reemplazar, el valor de la velocidad por el que habíamos encontrado en el MAS, tenemos una nueva formula así:

Teniendo presente que la energía potencial elástica, disminuye a medida que se acerca al punto de equilibrio, la energía cinética aumenta, por conservación de la energía, por tanto el gráfico donde podemos localizar tanto a la energía potencial como a la cinética se muestra como:

La energía mecánica es la suma de la energía cinética más la energía potencial, por tanto tenemos:

Reemplazando los valores de v y el x, por los de las ecuaciones del MAS, se transforma la ecuación de la energía mecánica así:

Resolvemos los cuadrados y realizamos las operaciones necesarias:

De la deducción del periodo de oscilación en un MAS, encontramos que:

Reemplazamos este valor en la ecuación de la energía mecánica quedando:

Factorizamos el término común:

Aplicamos de trigonometría el concepto de identidad fundamental, encontrando finalmente la ecuación de la energía mecánica en un MAS:

Tomemos nuevamente el concepto de energía mecánica con sus formulas primitivas, y resolvamos para la velocidad:

Donde conseguimos una expresión que nos permite conocer la velocidad del cuerpo en cualquier posición.

Péndulo Simple

Consta de una cuerda que no pueda sufrir deformación alguna, es decir que no se estire o se contraiga, en uno de los extremos de la cuerda irá sujeto un objeto de masa m, y del otro extremo irá la cuerda a un punto fijo:

Si la masa se suelta desde  la posición donde se encuentra en la imagen, la masa tenderá a regresar a su posición de equilibrio, que es donde está dibujada la línea azul punteada.

Analicemos virtualmente la siguiente situación, con la ayuda del simulador (clic sobre la imagen anterior para abrir el aplicativo).

Una vez abierto el simulador, puede manipular tanto el largo de la cuerda como la masa, entre otras variables. Vamos a realizar los siguiente para que pueda responder las preguntas. Primero vamos a ubicar el objeto con un ángulo de 60º, bien sea a la derecha o a la izquierda, sacamos el cronómetro, y dejamos la longitud de la cuerda en 0,80m, y tomamos el tiempo que tarda en hacer una oscilación, es decir el tiempo que tarda en regresar al mismo punto, una vez con el cronómetro tomado el tiempo, lo anotamos, y ahora cambiamos la longitud de la cuerda a 1m, volvemos a colocar el objeto a un ángulo de 60º y tomamos de nuevo el tiempo, ¿Cambió el tiempo? ¿Aumentó o disminuyó?, volvemos anotar el tiempo, y realizamos ahora el mismo experimento con una longitud de 0,4m, y tomamos de nuevo el tiempo.

Segun lo observado: ¿El periodo de oscilación dependerá de la longitud de la cuerda? si/no, porque

Ahora vamos a dejar la longitud  de la cuerda fija en 1m, y vamos a cambiar la masa, empecemos con una masa de 1kg, a un ángulo de 60º, y tomamos de nuevo el tiempo que tarda en regresar a la misma posición, cambiamos la masa a 1,5kg, dejamos el mismo ángulo y volvemos a tomar a tiempo, y por último cambiamos la masa por un valor de 0,10kg y tomamos por última vez el tiempo.

Al variar la masa y dejar la longitud de la cuerda constante, ¿Cambia el periodo de oscilación? 

Saca con lo anterior tus conclusiones.

Analicemos lo sucede con el péndulo, cuando se encuentra en un ángulo cualquiera:

En la posición mostrada en la figura anterior, podemos observar una vez realizado el diagrama de cuerpo libre, que existen varias fuerzas involucradas, primero el peso del cuerpo que cuelga de la cuerda, este siempre apuntará hacia abajo, dado que en esa dirección apunta la gravedad, al estar un cuerpo colgado de una cuerda, una fuerza aparece que es la tensión, pero esta tensión su valor va a cambiar dependiendo de la posición donde se encuentre, en la situación anterior, se tiene que la fuerza de tensión se le contrarresta otra fuerza (acción-reacción), fuerza que es una de las componentes del peso. 

La fuerza : 

Que es la fuerza digamos de alguna manera, restauradora, porque es la fuerza que lleva al cuerpo al equilibrio, si tomamos el sentido positivo del movimiento en la dirección donde se deja al bloque, entonces esta fuerza restauradora apunta en dirección contraria, es decir es negativa. Haciendo una analogía con la ley de Hooke, donde la fuerza recuperadora apunta en dirección opuesta a la dirección de deformación del resorte, en este caso la fuerza restauradora apunta en dirección opuesta a donde se deja el bloque.

Notemos lo siguiente: EL valor del 

Pero esto es válido para valores del ángulo menores a 30º, pero al momento de hacer el calculo, este valor del ángulo debe estar en radianes, es decir:  Si tomamos un ángulo de 20º, este ángulo en radianes es 0,35 rad, entonces al momento de hacer el calculo se tiene:

Resolviendo por este valor, se transforma la ecuación:

Para valores pequeños del ángulo se tiene en el gráfico:

Que la distancia X, es aproximadamente igual al valor de la longitud de arco, es decir:

De esta aproximación despejamos el ángulo, y lo reemplazamos en la ecuación de la fuerza restauradora quedando:

Reorganicemos la ecuación, notando que la masa no varia, la gravedad tampoco al igual que la longitud de la cuerda, lo que si cambia es la distancia, que en este caso dependerá del ángulo, por tanto:

Observemos lo parecida que es la expresión con la fuerza recuperadora (Ley de Hooke):

Donde podemos sacar como constante K a:

Si utilizamos la ecuación del periodo de oscilación de un sistema masa-resorte, y reemplazamos el valor de K, por este nuevo se tiene que el periodo de oscilación para el péndulo será:

Por tanto, el periodo de oscilación de un péndulo, depende de la longitud de la cuerda y de la gravedad. Es así que el periodo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la gravedad.

En cuanto a la energía, notemos que en los extremos al ser la velocidad nula, su energía cinética es nula, solo posee energia energia potencial, en el punto de equilibrio, la velocidad del bloque es máxima, por tanto su energía cinética es máxima y nula su energía potencial, caso idéntico al del sistema masa-resorte, la energía potencial que posee depende de la altura a la que se encuentre el bloque con respecto a la posición de equilibrio.